Задача к ЕГЭ по информатике на тему «прочие прототипы» №1

Введём два утверждения. ОСТРОУГ(a, b, c) – «существует остроугольный треугольник со сторонами a, b и c». ТУПОУГ(a, b, c) – «существует тупоугольный треугольник со сторонами a, b и c». Аргументы a, b и c в каждой из функций подаются в неё по возрастанию, иначе функция возвращает ложное значение.

Для какой минимальной длины отрезка $A$ формула

------------------ ----------------- (ОС ТРО УГ(39,80,x)∧ ТУП ОУ Г(65,72,x)) → (((x > 80)∧(x < 119)) → (x ∈ A ))

тождественно истина (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $x$ ?

Раскрываем импликацию и упрощаем выражение, получаем:

О СТР ОУ Г(39,80,x)∨ ТУ ПО УГ(65,72,x)∨ (x ≤ 80)∨ (x ≥ 119)∨ (x ∈ A)

«Враги» хотят, чтобы выражение было ложно:

( ||О СТ РОУ Г(39,80,x) = 0 |||| |||{Т УП ОУ Г(65,72,x) = 0 |||x > 80 ||||x < 119 ||( x ∕∈ A

Разберёмся, когда первый треугольник не будет остроугольным и когда второй треугольник не будет тупоугольным. При $x ≤ 41$ или $x ≥ 119$ треугольник (39, 80, x) не существует. При $x ≤ 7$ или $x ≥ 137$ треугольник (65, 72, x) не существует. По условию в функции ОСТРОУГ(a, b, c) и ТУПОУГ(a, b, c) подаются аргументы по возрастанию, поэтому x будет являться наибольшей стороной.

Треугольник является остроугольным, когда $a2 + b2 < c2$ и является тупоугольным при $a2 + b2 > c2 » class=»math» src=»/images/inform/reshen/reshen-5401-8.svg» width=»auto»>. Таким образом, получаем, что для <img decoding=$ остроугольный треугольник не существует при $√ --2----2 x ≥ 39 + 80$ , то есть при $x ≥ 89$ . Аналогично для $(65,72,x )$ , тупоугольный треугольник не существует при $√-------- x ≤ 652 +722$ , то есть при $x ≤ 97$ .

Преобразуем систему в соответствии с нашими высказываниями.

( || x ≥ 89 |||| |||{ x ≤ 97 ({ ⇒ x ∈ [89;97] ||| x > 80 ( x ∕∈ A |||| x < 119 ||( x∈∕A

«Друзья» хотят победить врагов, поэтому им нужно, чтобы следующая система была истинной при всех $x$ и $A$ .

⌊ x ∕∈ [89;97] ⌈ x ∈ A

Это обеспечивается тогда, когда $[89,97] ⊂ A$ . Следовательно, минимальная длина $A$ обеспечивается, когда $A = [89,97]$ . Таким образом, длина $A$ равна $8$ .

Ответ: 8