Задача к ЕГЭ по информатике на тему «полностью заполненные фрагменты таблицы истинности» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Логическая функция $F$ задаётся выражением $-- -- w ∧ (z ∨ y) ∧ (y ∨ x) ∧ (z ∨ x).$

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции $F,$ содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция $F$ истинна.

|----|----|----|----|---| |???-|???-|???-|???-|F--| |-1--|-1--|-1--|-0--|-1-| |-0--|-1--|-0--|-0--|-1-| | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | -------------------------

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции $F$ соответствует каждая переменная $x,$ $y,$ $z, w.$

По закону дистрибутивности $-- -- (y ∨ z ) ∧ (z ∨ x) = z ∨ (y ∧ x).$

Тогда функция переписывается в следующем виде: $F = w-∧ (z ∨ (y ∧ x-)) ∧ (y ∨ x).$

Конъюнкция истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее. Значит, $w-= 1,$ $-- z ∨ (y ∧ x) = 1,$ $y ∨ x = 1.$

Если $-- w = 1,$ то $w = 0.$ Так как только в четвертом столбце нет единиц, то четвертому столбцу соответствует $w.$

Для удобства составим таблицу истинности. Так как $w$ всегда должна быть равна нулю, чтобы $F = 1,$ то будем составлять таблицу истинности только для трех переменных. В ней будет $23 = 8$ строчек. Если значение выражения $-- (z ∨ (y ∧ x)) ∧ (y ∨ x)$ будет истинно, то и вся функция будет истинна.

|---|--|--|---| |x--|y-|z-|F--| |0 |0 |0 |0 | |0--|0-|1-|0--| |---|--|--|---| |0--|1-|0-|1--| |1--|1-|1-|1--| |1 |0 |0 |0 | |1--|1-|0-|0--| |---|--|--|---| |1--|0-|1-|0--| -0---1--1--1--|

Есть только 4 строки, в которых $F = 1.$ Значит, надо сопоставить каждую из них с фрагментом таблицы истинности из условия. В восьмой строке составленной таблицы истинности две единицы и один ноль. В третьей строке фрагмента тоже есть две единицы (в остальных строках или 3 единицы или 1 или их нет вообще). В этой строке ноль — это значение $x.$ Значит, первому столбцу фрагмента соответствует $x.$

Рассмотрим третью строку составленной нами таблицы истинности. Там есть одна единица и два нуля. Во второй строке фрагмента из условия также 3 нуля и одна единица. Эта единица — значение $y$ (второй столбец).

Тогда третьему столбцу соответствует $z.$

Ответ: xyzw