Задача к ЕГЭ по информатике на тему «полностью заполненные фрагменты таблицы истинности» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ∧ y) ∨ (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z-∧ x)$

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции $F$ соответствует каждая из переменных $x, y,z.$

|-----|----|----|---| |???--|???-|???-|F--| |-1---|-0--|-1--|0--| | 0 | 0 | 1 |1 | |-1---|-0--|-0--|0--| --------------------|

Решение руками:

1. Упростим $(x ∧ y) ∨ (x ∧ y).$

По закону дистрибутивности $(y ∧ x) ∨ (x ∧ y)$ = $x ∧ (y ∨ y-).$ $y ∨ y-= 1$ (если $y = 0,$ то $-- y ∨ y = 1 ∨ 0 = 1,$ если $y = 1,$ то $-- y ∨ y = 0 ∨ 1 = 1).$ Тогда $-- x ∧ (y ∨ y) = x ∧ 1 = x.$

2. Упростим $-- -- (y ∧ z) ∨ (z ∧ x).$ По закону дистрибутивности $-- -- -- (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) = z ∧ (y ∨ x ).$

3. Получим: $-- -- -- -- (x ∧ y ) ∨ (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) = x ∨ (z ∧ (y ∨ x)).$

4. Рассмотрим таблицу истинности. Чтобы значение функции $F$ было равно 0, $x = 0$ (ведь дизъюнкция ложна, если ложны все входящие в нее высказывания) и $z-∧ (y ∨ x ) = 0.$ Тогда второму столбцу соответствует $x$ (это единственный столбец, в котором все нули при $F = 1 ).$ Теперь рассмотрим случай, когда $F = 1.$ Хотя бы одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, должно быть истинно. Во второй строке (где функция истинна) таблицы истинности $x = 0,$ значит, $z-∧ (y ∨ x) = 1.$ Конъюнкция истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее, то есть $z-= 1$ и $y ∨ x = 1$ одновременно, $z = 0$ и $y = 1.$ При $(x, y, z)$ = (0, 1, 0) $F = 1.$ Во второй строке таблицы истинности из условия содержатся два нуля и одна единица. Значит, третьему столбцу соответствует $y$ (так как там есть единица), а первому — $z.$

Решение Python:

print("x y z F")
for x in range(2):
    for y in range(2):
        for z in range(2):
            F = (x and y) or (x and not y) or (y and not z) or (not z and x)
            print(x, y, z, int(F))

Ответ: zxy