Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №4

Просмотров 7 Комментарии 0

Обозначим через $m &n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ .

Так, например, $14&5 = 11102 &01012 = 01002 = 4$ .

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

x &A ⁄= 0 → (x&10 = 0 → x&5 ⁄= 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Решение аналитикой

Для начала упростим данное выражение:

(x &A = 0) ∨ (x&10 ⁄= 0) ∨ (x &5 ⁄= 0 )

Отделим скобками известную часть выражения от части с $A$ :

(x&A = 0) ∨ ((x&10 ⁄= 0) ∨ (x &5 ⁄= 0 ))

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с $A$ : $((x&A ⁄= 0)$

(x&10 = 0) ∧ (x&5 = 0)

Выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&10 = 0)$ :

1010 xxxx -------- x0x0

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...x0x0x$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&5 = 0)$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

0101 --0x0x-- 0b0b

Условие $(x&5 = 0)$ выполнится, если все цифры на месте $b$ будут равны 0. Значит в числах $x$ обязательно должны быть нули в 2 и 0 разрядах. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $0000$ .

Для всех таких чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A = 0)$ . Значит, двоичная запись числа $A$ может иметь вид $...0xxxx$ , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом $x$ получался в результате 0. Значит наибольшее число $A$ имеет значение $11112 = 1510$ . Ответ $15$ .

Решение программой:

for a in range(1000, 1, -1):
    fl = 0
    for x in range(1000):
        if ((x & a != 0) <= ((x & 10 == 0) <= (x & 5 != 0))) == 0:
            fl = 1
            break
    if not fl:
        print(a)
        break

Ответ: 15