Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №4

Просмотров 13 Комментарии 0

Обозначим через $m &n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ .

Так, например, $14&5 = 11102 &01012 = 01002 = 4$ .

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

x&15 = 0 → (x&29 ⁄= 0 → x&A ⁄= 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение $1$ при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Решение аналитически

Для начала упростим данное выражение:

------------ ------------ (x&15 = 0) ∨ ((x&29 ⁄= 0) ∨ (x &A ⁄= 0))

(x&15 ⁄= 0) ∨ (x&29 = 0) ∨ (x &A ⁄= 0)

Отделим скобками известную часть выражения от части с $A$ :

((x&15 ⁄= 0) ∨ (x&29 = 0)) ∨ (x&A ⁄= 0)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с $A$ : $((x&A ⁄= 0)$

(x &15 = 0) ∧ (x&29 ⁄= 0 )

Выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&15 = 0)$ :

1111 ----xxxx--- ...0xxxx

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...x0000$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&29 ⁄= 0)$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

11101 --x0000-- b0000

Условие $(x&29 ⁄= 0)$ выполнится, если хотя бы одна цифра на месте $b$ будет равна 1. Значит в числах $x$ обязательно должна быть единица в 4 разряде. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $10000$ .

Для всех таких чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A ⁄= 0)$ . Значит, двоичная запись числа $A$ обязательно должна иметь вид $...xx1xxxx$ , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом $x$ получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число $a$ имеет значение $100002 = 1610$ . Ответ $16$ .

Решение программой

def f(a):
    #если отрицание формулы возвращает истину,
    # то сама формула возвращает ложь
    for x in range(1000):
        if not((x & 15 == 0) <= ((x & 29 != 0) <= (x & a != 0))):
            return False
    return True

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 16