Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

Обозначим через $m&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ .

Так, например, $14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4$ .

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

--------- (x&A ⁄= 0)∨ (x&74 = 0 → x&65 ⁄= 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Решение аналитически

Для начала упростим данное выражение раскрыв импликацию и отрицание:

--------- ---------- (x&A ⁄= 0)∨((x&74 = 0)∨ (x &65 ⁄= 0))

(x&A = 0)∨ (x&74 ⁄= 0)∨ (x &65 ⁄= 0)

Отделим скобками известную часть выражения от части с $A$ :

(x&A = 0)∨((x&74 ⁄= 0)∨ (x &65 ⁄= 0))

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания.

(x&74 = 0) ∧(x&65 = 0)

Выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&65 = 0)$ :

1000001 xxxxxxx ---------- x00000x

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...x0xxxxx0$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию $(x &74 = 0)$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

1001010 0xxxxx0 ---------- 000b0b0

Условие $(x&65 = 0)$ выполнится, если на месте $b$ будет стоять 0. Значит в числах $x$ обязательно должен быть ноль в 1 и 3 разряде. Тогда, все $x$ , которые дают истину для отрицания известной части имеют вид: $...x0xx0x00$ .

Для всех таких чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A = 0)$ . Значит, двоичная запись числа $A$ обязательно должна иметь вид $x00x0xx$ , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом $x$ все разряды были нулями.

Тогда, чтобы найти наибольшее значение $A$ , подставим на место x единицы: $A = 1001011 = 75 2 10$ .

Решение программой:

def f(a):
    for x in range(1000):
        if ((x & a == 0) or ((x & 74 == 0) <= (x & 65 != 0))) == 0:
            return False
    return True

for a in range(1000, 0, - 1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 75