Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №1

Просмотров 9 Комментарии 0

Обозначим через $m&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n.$

Так, например, $14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.$

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

x&38 = 0 → (x&55 ⁄= 0 → x&A ⁄= 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x)?$

Решение аналитикой

Для начала упростим данное выражение:

(x&38 ⁄= 0)∨ (x&55 = 0) ∨(x&A ⁄= 0)

Отделим скобками известную часть выражения от части с $A$ :

((x&38 ⁄= 0)∨ (x&55 = 0))∨ (x&A ⁄= 0)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с $A$ : $((x&A ⁄= 0)$

(x&38 = 0) ∧(x&55 ⁄= 0)

Выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&38 = 0)$ :

100110 --xxxxx-- x00xx0

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...x0xx00x$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию $(x &55 ⁄= 0)$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

110111 --0xx00x-- 0b000b

Условие $(x&55 ⁄= 0)$ выполнится, если хотя бы одна цифра на месте $b$ будет равна 1. Значит в числах $x$ обязательно должна быть единица в 0 и/или 4 разряде. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $10000$ , $10001$ , $00001$ .

Для всех таких чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A ⁄= 0)$ . Значит, двоичная запись числа $A$ обязательно должна иметь вид $...xx1xxx1$ , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом $x$ получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число $A$ имеет значение $100012 = 1710$ . Ответ $17$ .

Решение программой:

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        if ((x & 38 == 0) <= ((x & 55 != 0) <= (x & a != 0))) == 0:
            return False
    return True

for a in range(1, 1000):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 17