Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №1

Обозначим через $m&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ .

Так, например, $14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4$ .

Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула

((x&35 ⁄= 0)∨ (x &23 ⁄= 0)) → ((x&26 ⁄= 0)∨ (x&A = 0))

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Решение руками

Для начала упростим данное выражение раскрыв импликацию и отрицания:

((x&35 = 0)∧ (x&23 = 0))∨ (x&26 ⁄= 0)∨ (x &A = 0)

Разделим известную часть и выражения с $A$ :

(((x&35 = 0)∧ (x&23 = 0))∨ (x&26 ⁄= 0))∨(x&A = 0)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания.

Тогда они будут обязаны выполняться для условия с $A$ : $(x&A = 0)$

((x&35 ⁄= 0)∨(x&23 ⁄= 0))∧ (x &26 = 0)

Выпишем поразрядную конъюнкцию $x&26 = 0$ :

11010 --xxxxx- xx0x0

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...xx00x0x$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядные конъюнкции $((x&35 ⁄= 0)∨ (x&23 ⁄= 0))$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

x&23

10111 -00x0x-- 00x0x

Условие $x&23 ⁄= 0$ выполнится, если хотя бы одна цифра на месте x будет равна 1. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $001 100 101$

x&35

100011 x00x0x --------- x0000x

Условие $x&35 ⁄= 0$ выполнится, если хотя бы одна цифра на месте x будет равна 1. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $000001 000101 100000 100001 100100 100101$

После объединения чисел $x$ из предыдущего пункта получаем весь список $x$ которые дают истину отрицания известной части: $1,100,101,100000,100001,100100,100101$ .

Для этих чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A = 0)$ . Значит, в числе $A$ обязательно должны быть нули в двоичном виде на разрядах 0, 2 и 5 при нумерации с 0 справа налево. Так как число $A$ натурально, то все нули в нем стоять не могут, поэтому поставим 1 на самый правый доступный разряд. Значит наименьшее число $A$ имеет значение $102 = 210$ . Ответ 2.

Решение программой

def f(x, a):
    return ((x & 35 != 0) or (x & 23 != 0)) <= ((x & 26 != 0) or (x & a == 0))


for a in range(1, 300):
    p = True
    for x in range(0, 300):
        if f(x, a) == False:
            p = False
            break
    if p == True:
        print(a)
        break

Ответ: 2