Задача к ЕГЭ по информатике на тему «побитовая конъюнкция» №1

Просмотров 8 Комментарии 0

Обозначим через $m&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ .

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

(x&38 = 0) → ((x&55 ⁄= 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Для начала упростим данное выражение:

(x&38 = 0) → ((x&55 ⁄= 0) → (x&A ⁄= 0))

Раскроем импликации:

---------- ---------- (x&38 = 0)∨ ((x&55 ⁄= 0) ∨(x&A ⁄= 0))

(x&38 ⁄= 0)∨ (x&55 = 0) ∨(x&A ⁄= 0)

Отделим скобками известную часть выражения от части с $A$ :

((x&38 ⁄= 0)∨ (x&55 = 0))∨ (x&A ⁄= 0)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения $x$ , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с $A$ : $(x&A ⁄= 0)$

(x&38 = 0) ∧(x&55 ⁄= 0)

Выпишем поразрядную конъюнкцию $(x&38 = 0)$ :

100110 -xxxxxx-- x00xx0

Значит для истинности отрицания числа $x$ должны в двоичном виде принимать вид $...xx0xx00x$ , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию $(x &55 ⁄= 0)$ с учётом известных цифр в числах $x$ :

00110111 -xx0xx00x-- 000a000a

Условие $x&55 ⁄= 0$ выполнится, если хотя бы одна цифра на месте a будет равна 1. Значит в числах $x$ обязательно должна быть единица в 0 разряде или в 4 разряде. Выпишем числа $x$ , которые дают истину для отрицания известной части: $10000,00001,10001$ Для всех таких чисел $x$ должно быть истинным условие $(x&A ⁄= 0)$ . Значит, двоичная запись числа $A$ обязательно должна иметь вид $...xx1xxx1$ , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом $x$ получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число $A$ имеет значение $100012 = 1710$ . Ответ $17$ .

Программное решение

for a in range(1000):
    flag = True
    for x in range(10000):
        if ((x & 38 == 0) <= ((x & 55 != 0) <= (x & a != 0))) == False:
            flag = False
            break
    if flag == True:
        print(a)
        break

Ответ: 17