Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №8

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из $10$ камней, за один ход можно получить кучу из $11$ или из $20$ камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает $45$ . Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет $46$ или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 45$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Решение руками:

Максимальный ход доступный нам в партии это $∗2$ . Определим отрезок, в котором игра завершается в один ход. Минимальное значение отрезка равняется: $46 --= 23 2$

Получается, что в отрезке значений [23;45] игра заканчивается в один ход. Минимальное значение, из которого за один ход попасть в данный отрезок и есть минимальное значение, при котором Ваня может выиграть после неудачного хода Пети. Определим данное значение: $23= 11,5 2$ (округляем в большую сторону) = $12$

Ответ: $12$

Решение программой:

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 46: # если камней в куче стало больше 45
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,46):
    if game(i+1) == 1 or game(i*2) == 1: # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
        print(i)
        break

Ответ: 12