Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №7

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из $15$ камней, за один ход можно получить кучу из $16$ , $18$ или $30$ камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее $33$ . Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет $33$ или больше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 32$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Для начала определим отрезок, в котором игра заканчивается за один ход, при условии, что игрок не делает неудачных ходов. Максимальный ход доступный нам в партии это $∗2$ . Минимальное значение отрезка равняется: $33 -- = 16,5 2$ (округляем в большую сторону) = $17$

Получается, что в отрезке [17;32] игра завершается в один ход. Неудачный ход – это ход, который ухудшает вашу позицию в партии. Минимальное значение, из которого за один ход можно попасть в отрезок [17;32] равняется: $17 2 = 8,5$ (округляем в большую сторону) = $9$ .

При $S = 9$ Петя может совершить неудачный ход, который позволит Ване выиграть партию следующим ходом.

Ответ: $9$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 33: # если камней в куче стало больше 32
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap+3),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,33):
    if game(i+1) == 1 or game(i+3) == 1 or game(i*2) == 1: # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache

def moves(h):
    return (h + 1), (h + 3), (h * 2)

@lru_cache(None)
def game(h):
    if h >= 33:
        return "END"
    elif any(game(x) == "END" for x in moves(h)):
        return "WIN1"
    elif any(game(x) == "WIN1" for x in moves(h)):
        return "LOSE1"

for s in range(1, 33):
    if game(s) == "LOSE1":
        print(s)

Ответ: 9