Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №6

Два игрока, Оливье и Крабовый, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Оливье. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в $2$ раза. Например, имея кучу из $10$ камней, за один ход можно получить кучу из $11$ или $20$ камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее $33$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $33$ или более камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 32$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите такое значение $S$ , при котором Крабовый выигрывает своим первым ходом при любой игре Оливье.

Решение руками

Найдем такие $S$ , при которых Оливье может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться неравенство: $2 ⋅S ≥ 33$ . То есть Оливье может выиграть при $S ≥ 17$ . Таким образом, если мы возьмем $S = 16$ то Оливье никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Крабового, и тогда Крабовый уже гарантированно победит своим первым ходом.

Решение БУ

#Петя - Оливье
#Ваня - Крабовый
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 33: # если камней в куче стало больше 32
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,33):
    if game(i) == -1: # если в данной позиции Ваня побеждает первым ходом
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(h):
    return h + 1, h * 2


@lru_cache(None)
def f(h):
    if h >= 33:
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    if all(f(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’


for i in range(1, 33):
    if f(i) == ’LOSE1’:
        print(i)

Ответ: 16