Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу $2$ или $4$ камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из $12$ камней, за один ход можно получить кучу из $14$ , $16$ или $36$ камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее $68$ . Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет $68$ или больше камней.

В начальный момент в куче было $1 ≤ S ≤ 67$ . Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Для того, чтобы получить минимальное значение предположим, что и Петя, и Ваня своим ходом увеличивали количество камней в куче в три раза. Тогда минимальное значение $S$ равно $8$ , т.е. Петя увеличит количество камней до $24$ , а Ваня соответственно до $72$ , тем самым выиграв.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 68: # если камней в куче стало больше 67
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+2),game(first_heap+4),game(first_heap*3)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,68):
    if game(i+2) == 1 or game(i+4) == 1 or game(i*3) == 1: # Если в текущей позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани в один ход
        print(i)
        break

Ответ: 8