Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №3

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из $10$ камней, за один ход можно получить кучу из $11$ или $30$ камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее $71$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $71$ или больше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 70.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Известно, что Петя сделал неудачный ход. Тогда можно рассмотреть два случая. Первый — Петя положил в кучу один камень. Тогда для Вани будет целесообразнее утроить количество камней:

$(S +1) ⋅3 ≥ 71 ⇒ S ≥ 23$

Также Петя мог утроить количество камней, тогда неравенство будет выглядеть так:

$S ⋅3⋅3 ≥ 71 ⇒ S ≥ 8$

<img alt="8 , значит ответ $8$ .

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 71: # если камней в куче стало больше 70
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*3)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,71):
    if game(i+1) == 1 or game(i*3) == 1: # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(heap):
    return heap + 1, heap * 3


@lru_cache(None)
def game(heap):
    if heap >= 71:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’P1’
    elif any(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
        return ’V1’
    elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
        return ’P2’
    elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
        return ’V2’


for s in range(1, 71):
    if game(s) == ’V1’:
        print(s)
        break

Ответ: 8