Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №2

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча крабов. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу одного краба или добавить в кучу два краба или увеличить количество крабов в куче в $3$ раза. Например, имея кучу из $10$ крабов, за один ход можно получить кучу из $11$ или $12$ или $30$ крабов. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество крабов. Игра завершается в тот момент, когда количество крабов в куче становится не менее $50$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $50$ или более крабов. В начальный момент в куче было $S$ крабов, $1 ≤ S ≤ 49$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S$ , при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Решение руками

Для начала определим значения, при которых Петя побеждает первым ходом. Максимальный ход доступный нам в партии это $∗3$ . Минимальное значение отрезка значений, в которых Петя побеждает первым ходом равняется: $50 = 16,66.. 3$ (округляем в большую сторону) = $17$

Получается, что в отрезке [17;49] Петя выигрывает своим первым ходом. Теперь определим значение, в котором Ваня побеждает своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ ходы ведут в вышеописанный отрезок – это значение, в котором Ваня выигрывает своим первым ходом. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает первым ходом:

$S = 16$ . Петя может увеличить количество камней до $17$ , $18$ или $48$ камней. Во всех этих случаях Ване не составит труда завершить партию следующим ходом.

Ответ: $16$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 50: # если камней в куче стало больше 49
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap+2),game(first_heap*3)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,50):
    if game(i) == -1: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache

def moves(h):
    return h + 1, h + 2, h * 3

@lru_cache(None)
def f(h):
    if (h >= 50):
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’P1’
    if all(f(x) == ’P1’ for x in moves(h)):
        return ’V1’

for s in range(1,50):
    if f(s) == ’V1’:
        print(s)

Ответ: 16