Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 
камней, за один ход можно получить кучу из 
или 
камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 
.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет 
или более камней. В начальный момент в куче было 
камней, 
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение 
, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.
Решение руками
В этой задаче требуется найти позицию , в которой выигрыш Вани первым ходом. Чтобы её найти, давайте сначала найдём позиции, в которых выигрыш Пети первым ходом. Это все позиции при 
. Тогда все ходы из позиции 
ведут в позиции, где выигрыш Пети первым ходом, а это значит, что позиция 
является позицией, где выигрыш Вани первым ходом. Также из позиции 
все ходы ведут в выигрыш Пети первым ходом, она тоже подходит, но <img alt="26 . Ответ 
.
Решение БУ
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
if first_heap >= 55: # если камней в куче стало больше 54
return 0 # прекращаем игру
moves = [game(first_heap+2),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
return -max(petya_win) + 1
else: # если в данной позиции выигрыш Вани
return -max(moves)
for i in range(1,55):
if game(i) == -1: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
print(i)
Решение АР
from functools import lru_cache
def moves(heap):
return heap + 2, heap * 2
@lru_cache(None)
def game(heap):
if heap >= 55:
return ’END’
elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
return ’P1’
elif all(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
return ’V1’
elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
return ’P2’
elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
return ’V2’
for s in range(1, 55):
if game(s) == ’V1’:
print(s)
break