Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №2

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча паутинок. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу одну паутинку или добавить в кучу три паутинки или увеличить количество паутинок в куче в два раза. Например, имея кучу из $10$ паутинок, за один ход можно получить кучу из $11$ или $13$ или $20$ паутинок. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество паутинок. Игра завершается в тот момент, когда количество паутинок в куче становится не менее $62$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $62$ или более паутинок. В начальный момент в куче было $S$ паутинок, $1 ≤ S ≤ 61$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S$ , при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Решение руками

Для начала определим отрезок значений, в которых Петя побеждает своим первым ходом. Максимальный ход, доступный в партии это $∗ 2$ . Минимальное значение отрезка равно: $62 --= 31 2$ Получается, что в отрезке значений [31;61] Петя гарантированно побеждает своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанный отрезок – это значение, где Ваня гарантированно побеждает своим первым ходом. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает своим первым ходом:

$S = 30$ . Петя может увеличить количество камней до $31$ , $33$ или $60$ . Ваня не составит труда следующим ходом завершить игру.

Ответ: $30$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 62: # если камней в куче стало больше 61
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap+3),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,62):
    if game(i) == -1: # если в данной позиции Ваня побеждает первым ходом
        print(i)
        break

Ответ: 30