Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча маркеров. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один маркер или увеличить количество маркеров в куче в $2$ раза. Например, имея кучу из $17$ маркеров, за один ход можно получить кучу из $18$ или $34$ маркеров. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество маркеров. Игра завершается в тот момент, когда количество маркеров в куче становится не менее $42$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $42$ или более маркеров. В начальный момент в куче было $S$ маркеров, $1 ≤ S ≤ 41$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Петя выигрывает в первый ход. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Для начала определим значения, при которых Петя побеждает первым ходом. Максимальный ход доступный нам в партии это $∗2$ . Минимальное значение отрезка значений, в которых Петя побеждает первым ходом равняется: $42 = 21 2$

Получается, что в отрезке [21;41] Петя выигрывает своим первым ходом.

Ответ: $21$

Решение программой

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 42: # если камней в куче стало больше 41
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,42):
    if game(i) == 1: # если в данной позиции возможен выигрыш Пети первым ходом
        print(i)
        break

Альтернативное решение программой

from functools import lru_cache

def moves(h):
    return h + 1, h * 2

@lru_cache(None)
def f(h):
    if (h >= 42):
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’P1’

for s in range(1, 42):
    if f(s) == ’P1’:
        print(s)
        break

Ответ: 21