Задача к ЕГЭ по информатике на тему «перекладывание камней одна куча» №1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в $2$ раза, при этом после каждого хода в куче должно быть четное количество камней. Например, пусть в куче будет $6$ камней. Тогда за один ход можно получить кучу из $12$ камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее $88$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет $88$ или более камней. В начальный момент в куче было S камней, $1 ≤ S ≤ 87$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Решение руками

Для начала определим какие ходы в каких ситуациях мы можем совершать. После каждого хода у нас должно быть обязательно чётное количество камней в куче. Если текущее количество камней чётное, то мы можем совершать только ход $∗2$ , так как чётное * чётное = чётное число. В обратном случае, если текущее количество камней нечётное, то мы можем совершать любой ход, так как нечётное * чётное = чётное число и нечётное + нечётное = чётное число. Определим при каких значениях Петя побеждает своим первым ходом. Максимальный ход, который нам доступен это $∗2$ . Значит, минимальное значение, в котором Петя побеждает первым своим ходом равняется: $88 2 = 44$

Выходит, что в отрезке [44;87] Петя побеждает первым ходом. Определим при каких значениях Ваня побеждает своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ ходы ведут в вышеописанный отрезок – это значение, в котором Ваня выигрывает своим первым ходом. Распишем минимальное значение и стратегии, при которых Ваня побеждает первым ходом:

$S = 22$ . Это чётное число, значит доступен только $∗ 2$ ход. Петя может увеличить количество камней до $44$ . Ване не составит труда завершить партию следующим ходом.

Ответ: $22$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 88: # если камней в куче стало больше 87
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [] # cписок всех возможных ходов в партии
    if first_heap % 2 == 0: # если количество камней в куче является чётным
        # то можем сделать только ход *2, так как чётное*чётное = чётное
        moves = [game(first_heap*2)]
    else: # если количество камней в куче является нечётным
        # то можем сделать только любой ход, так как нечётное*чётное = чётное и нечётное + нечётное = чётное
        moves = [game(first_heap * 2),game(first_heap+1),game(first_heap+3)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,88):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Ваня первым ходом
    if game(i) == -1:
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache
def moves(h):
    a = [h * 2]
    if (h + 1) % 2 == 0:
        a += [h + 1]
        a += [h + 3]
    return a
@lru_cache(None)
def f(h):
    if h >= 88:
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’P1’
    if all(f(x) == ’P1’ for x in moves(h)):
        return ’V1’
for s in range(1, 88):
    if f(s) == ’V1’:
        print(s)
        break

Ответ: 22