Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №7

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет 10 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 8). За один ход из позиции (10, 8) можно получить любую из четырёх позиций: (13, 8), (10, 11), (20, 8), (10, 16). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 31.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 31 или более камней. В начальный момент в первой куче было 4 камней, во второй куче S камней, $1 ≤ S ≤ 26.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите такое максимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Решение руками

Найдем такие $S,$ при которых Петя может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться хотя бы одно из двух неравенств: $4⋅2 + S ≥ 31$ или $4+ S ⋅2 ≥ 31$ . То есть Петя может выиграть при $S ≥ 23$ или $S ≥ 14.$ Таким образом, если мы возьмем $S = 13$ или $S = 12,$ то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.

Решение БУ

from functools import lru_cache


@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 31:  # Если в двух кучах камней больше или равно 31
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 3, second_heap), game(first_heap, second_heap + 3), game(first_heap * 2, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win:
        return -max(petya_win) + 1  # Выигрышный ход Пети
    else:
        return -max(moves)  # Выигрышный ход Вани


# Поиск значения S для выигрыша Вани
for s in range(1, 27):
    if game(4, s) == -1:
        print(s)  # Вывод значения S

Ответ: 13