Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет 
камней, а в другой 
камней; такую позицию мы будем обозначать 
. За один ход из позиции 
можно получить любую из четырёх позиций: 
, 
, 
, 
. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 
.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 
или более камней. В начальный момент в первой куче было 
камней, во второй куче 
камней, 
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение 
, когда такая ситуация возможна.
Решение руками
Чтобы Ваня победил своим первым ходом, Петя должен увеличить количество камней в куче на столько, чтобы следующим ходом Ваня мог победить. Эффективнее Пете и Ване будет удваивать 
чем добавлять к нему 1. При каких 
будет выполняться 
Следовательно ответ 
Решение БУ
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap): # Функция игры
if first_heap + second_heap >= 25: # Если камней в куче стало больше 25
return 0 # Прекращаем игру
moves = [game(first_heap + 1, second_heap), game(first_heap, second_heap + 1), game(first_heap * 2, second_heap),
game(first_heap, second_heap * 2)] # Генерация всех возможных ходов
petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
if petya_win:
return -max(petya_win) + 1 # Выигрышный ход Пети
else:
return -max(moves) # Выигрышный ход Вани
# Поиск минимального значения S для выигрыша Вани
for s in range(1, 21):
if game(4, s + 1) == 1 or game(4, s * 2) == 1:
print(s) # Вывод минимального значения S
break
Решение АР
from functools import lru_cache
def moves(h):
a, b = h
return (a + 1, b), (a, b + 1), (a * 2, b), (a, b * 2)
@lru_cache(None)
def f(h):
if (sum(h) >= 25):
return ’END’
if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
return ’P1’
if any(f(x) == ’P1’ for x in moves(h)):
return ’V1’
for s in range(1, 21):
h = 4, s
if f(h) == ’V1’:
print(s)
break