Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи стикеров. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один стикер или увеличить количество стикеров в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет $10$ стикеров, а в другой $8$ стикеров; такую позицию мы будем обозначать $(10,8)$ . За один ход из позиции $(10,8)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(11,8),(10,9),(20,8),(10,16)$ . Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество стикеров в кучах становится не менее $33$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $33$ или более стикеров. В начальный момент в первой куче было $4$ стикера, во второй куче $S$ стикеров, $1 ≤ S ≤ 28$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$ , когда такая ситуация возможна.

Если такого значения нет, в ответ запишите $0$ .

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 33:  # Если камней в куче стало больше 32
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1, second_heap), game(first_heap, second_heap + 1), game(first_heap * 2, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,29):
    if game(4+1,i) == 1 or game(4*2,i) == 1 or game(4,i+1) == 1 or game(4,i*2) == 1: # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache

def moves(heap):
    a, b = heap
    return (a + 1, b), (a, b + 1), (a * 2, b), (a, b * 2)

@lru_cache(None)
def game(heap):
    if sum(heap) >= 33:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’P1’
    elif any(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
        return ’V1’
    elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
        return ’P2’
    elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
        return ’V2’

for s in range(1, 29):
    print(s, game((4, s)))

Ответ: 8