Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №2

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет $9$ камней, а в другой $10$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(9,10).$ За один ход из позиции $(9,10)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(10,10),(9,11),(18,10),(9,20).$ Игра завершается в тот момент, когда произведение количества камней в кучах становится не менее $2048.$

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $2048$ или более камней. В начальный момент в первой куче было $11$ камней, а во второй куче $S$ камней $1 ≤ S ≤ 186.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S,$ при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Решение руками

Очевидно, что при $S ≥ 94$ Петя выигрывает первым ходом, домножая кучу $S$ на $2$ . Однако при $S = 93$ Петя не выигрывает своим первым ходом, а Ваня же выигрывает при любой игре Пети. Меньшие значения S не подходят, так как ни одна из них не ведёт только в позиции выигрыша Пети первым ходом.

Решение БУ

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap,count_moves):  # Функция игры.
    # count_moves это счётчик ходов в партии, его мы добавили для того чтобы избежать ошибки превышения лимита рекурсии.
    # Это работает следующим образом: если в партии больше 6 ходов, то есть по три хода Пети и Вани, а партия до сих пор не завершена.
    # То такая партия нам абсолютно неинтересна, поскольку в задачах у нас просят значения, при которых Ваня или Петя побеждают максимум третьим ходом
    # Получается, что если в партии совершено много ходов, а она так и не завершилась, то мы её прерываем и начинаем просчёт другой позиции,
    # так как эта позиция нам становится неинтересной
    if first_heap * second_heap >= 2048:  # Если произведение камней в кучах стало больше 2047
        return 0  # Прекращаем игру
    if count_moves > 6: # если в игре больше 6 ходов
        return 10**10 # прерываем игру
    moves = [game(first_heap, second_heap+1,count_moves+1), game(first_heap+1, second_heap,count_moves+1),
             game(first_heap * 2, second_heap,count_moves+1),game(first_heap, second_heap * 2,count_moves+1)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)


for i in range(1,187):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
    if game(11,i,0) == -1:
        print(i)
        break

Ответ: 93