Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 12 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (12, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырех позиций: (13, 7), (24, 7), (12, 8), (12, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 74 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было двенадцать камней, во второй куче S камней; 
.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Решение руками
Минимальное значение камней во второй куче, при котором партия завершается равняется: 
(камня).
Максимальный ход, который мы имеем в игре это 
, это значит, что промежуток для второй кучи, в котором игрок выигрывает в один ход располагается от 
до 
.
Значит, нам нужно найти минимальное значение, при котором количество камней в куче после хода Пети будет находиться в промежутке, объявленном в предыдущем предложении. Это значение будет равняться 
.
Программное решение
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap): # Функция игры.
if first_heap + second_heap >= 74: # Если сумма камней в кучах стала больше 73
return 0 # Прекращаем игру
moves = [game(first_heap, second_heap+1), game(first_heap+1, second_heap),
game(first_heap * 2, second_heap),game(first_heap, second_heap * 2)] # Генерация всех возможных ходов
petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
return -max(petya_win) + 1
else: # если в данной позиции выигрыш Вани
return -max(moves)
for i in range(1,62):
# если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
if game(12+1,i) == 1 or game(12*2,i) == 1 or game(12,i+1) == 1 or game(12,i*2) == 1:
print(i)
break