Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — S камней; $1 ≤ S ≤ 69$ .

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Минимальное значения для второй кучи для завершения игры: $77− 7 = 70$ . Промежуток, при котором игрок побеждает одним ходом, при условии, что максимальный ход $⋅2$ : $[35,70]$ . Значит, минимальное количество камней, при котором Ваня выиграет своим первым ходом после неудачного хода Пети: $18$ ( $18⋅2 = 36 ∈ [35,70]$ ).

Программное решение

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры.
    if first_heap + second_heap >= 77:  # Если сумма камней в кучах стала больше 76
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap, second_heap+2), game(first_heap+2, second_heap),
             game(first_heap * 2, second_heap),game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,70):
    # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
    if game(7+2,i) == 1 or game(7*2,i) == 1 or game(7,i+2) == 1 or game(7,i*2) == 1:
        print(i)
        break

Ответ: 18