Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или добавить в любую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Например, пусть в одной куче будет $7$ камней, а в другой $11$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(7,11).$ За один ход из позиции $(7,11)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(8,11),(7,12),(18,11),(7,18).$ Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее $63.$

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $63$ или более камней. В начальный момент в первой куче было $5$ камней, во второй куче $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 57.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S,$ когда такая ситуация возможна.

Решение руками

Очевидно, что самый сильный ход (добавление в одну из куч количество из другой) произошёл $2$ раза. Рассмотрим позицию $(5,S)$ . Петя добавляет к первой куче $S$ камней, создавая позицию $(5+ S,18)$ . После этого Ваня добавляет ко второй куче $5 + S$ камней, создавая позицию $(5 + S,5+ 2S)$ и выигрывает. При каком $S$ это возможно? При $5 + S + 5 +2S = 10 +3S ≥ 63$ , а минимальное такое целое $S$ равно 18.

Решение БУ

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 63:  # Если камней в кучах стало больше 62
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap, second_heap+1), game(first_heap+1, second_heap),
             game(first_heap + second_heap, second_heap),game(first_heap, second_heap + first_heap)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,58):
    # если в данной позиции после неудачного хода Пети возможен выигрыш Вани
    if game(5+1,i) == 1 or game(5+i,i) == 1 or game(5,i+1) == 1 or game(5,i+5) == 1:
        print(i)
        break

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(heap):
    a, b = heap
    return (a + 1, b), (a, b + 1), (a + b, b), (a, b + a)


@lru_cache(None)
def game(heap):
    if sum(heap) >= 63:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’P1’
    elif any(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
        return ’V1’
    elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
        return ’P2’
    elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
        return ’V2’


for s in range(1, 58):
    if game((5, s)) == ’V1’:
        print(s)
        break

Ответ: 18