Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Перекладывание камней две кучи» №1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет $14$ камней, а в другой $5$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(14,5).$ За один ход из позиции $(14,5)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(15,5),(14,6),(28,5),(14,10).$ Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее $47.$

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $47$ или более камней. В начальный момент в первой куче было $4$ камня, во второй куче $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 42.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Петя выигрывает в первый ход. Укажите минимальное значение $S,$ когда такая ситуация возможна.

Решение руками

В этой задаче требуется найти позицию где Петя побеждает первым ходом. Петя может выиграть первым ходом, увеличив первую кучу или вторую кучу. Рассматривать ход $+1$ для обеих куч не имеет смысла, так как для завершения партии ходом $+ 1$ требуется изначальное большое значение S. Распишем получившиеся ситуации:

$2∗ 4+ S ≥ 47$

$4+ 2 ∗S ≥ 47$

В первом случае, минимальное S, при котором данное неравенство будет выполнено равняется $39$ . Во втором — $22$ .

В ответ нужно указать минимальное значение S. Ответ: $22$ .

Решение программой

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 47:  # Если камней в кучах стало больше 46
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap, second_heap+1), game(first_heap+1, second_heap),
             game(first_heap * 2, second_heap),game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,43):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Пети первым ходом
    if game(4,i) == 1:
        print(i)
        break

Альтернативное решение программой

from functools import lru_cache


def moves(heap):
    a, b = heap
    return (a + 1, b), (a, b + 1), (a * 2, b), (a, b * 2)


@lru_cache(None)
def game(heap):
    if sum(heap) >= 47:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’P1’
    elif all(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
        return ’V1’
    elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
        return ’P2’
    elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
        return ’V2’


for s in range(1, 43):
    if game((4, s)) == ’P1’:
        print(s)
        break

Ответ: 22