Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 4 камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 14, 16 или 36 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было 1
S 
67.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
Задание 1.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2.
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход,но Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
Задание 1.
а) Петя может выиграть своим первым ходом если S = 23, …, 67. Во всех этих случаях достаточно утроить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 67 камня.
б) Ваня может выиграть первым ходом, если исходно в куче будет S = 22 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 24, 26 или 66 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в три раза и выигрывает.
Задание 2.
Возможные значения S: 20, 18. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом, но может получить кучу из 22 камней (если S = 20 — прибавлением двух камней, если S = 18 — прибавлением четырех камней). Тогда при любом ходе Вани, Петя оказывается в выигрышной позиции, утраивает количество камней в куче и выигрывает.
Задание 3.
S = 16. После первого хода Пети в куче будет 18, 20, или 48 камней. Если в куче станет 48 камней, то Ваня утраивает количество камней и выигрывает своим первым ходом. Случай, когда в куче 18 или 20 камней разобран в задании 2. В этих случаях Ваня выигрывает своим вторым ходом.
