Два игрока, Паша и Вася, играют в игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 14 или 36 камней. У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 79. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 79 камней и более.
В начале игры в куче было 1
S
78.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша выигрывает одним ходом. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышные ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши, Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
2. Укажите два значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как походит Вася. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Паши.
3. Укажите значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, но у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Паша может выиграть первым ходом, если S = 27, …, 78. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 78 камней. Паше достаточно увеличить количество камней в куче в 3 раза, чтобы выиграть. При S < 27 получить за один ход больше 78 камня невозможно.
б) Вася может выиграть первым ходом, если сначала в куче было S = 26 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 28 или 78 камней, тогда Вася увеличивает количество камней в куче в 3 раза и выигрывает.
2. Возможные значения S: 24, 23. При данных значениях Паша не может выиграть первым ходом, но он может получить кучу из 26 камней (При S = 24 Паша увеличивает количество камней в куче на 2) или кучу из 25 камней (при S = 23 Паша увеличивает количество камней в куче на 2). Тогда при любом ходе Васи, Паша оказывается в выигрышной позиции, увеличивает количество камней в куче в 3 раза и побеждает.
3. Возможное значение S = 21. Первым ходом Паша может сделать кучу из 23 или 63 камней. Если в куче 63 камня, то Вася своим первым ходом увеличивает количество камней в 3 раза и выигрывает. Если в куче 23 камня, то, как показано в пункте (2), Вова своим первым ходом прибавляет 2 камня к куче. Паша вторым ходом может получить 27 или 75 камней. Тогда Вова своим вторым ходом выигрывает, увеличивая количество камней в куче в 3 раза.
