Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №8

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [44;49]$ и $Q = [25;58]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

((x ∈ A ) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение $1$ при любых $x$ .

Решение руками

Рассмотрим логическое выражение:

((x ∈ A ) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

Сначала преобразуем импликацию:

(x ∈ A ) → (x ∈ P) = (¬(x ∈ A)∨ (x ∈ P ))

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

(¬(x ∈ A )∨ (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

Упрощаем его до следующего вида:

(x ∕∈ A)∨ (x ∈ P )∨(x ∈ Q)

Мы хотим, чтобы данное выражение было истинным. Это означает, что необходимо, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:

1. $x ∕∈ A$

2. $x ∈ P$

3. $x ∈ Q$

Таким образом, $x$ должно принадлежать множеству $(− ∞, 25)∪(58,+∞ )$ , и все эти значения должны находиться в множестве $A$ .

Следовательно, задача заключается в том, чтобы выбрать такое множество $A$ , которое не перекрывает указанные значения. Одним из вариантов для множества $A$ может быть $A = [25,58]$ .

Таким образом, максимальная длина множества $A$ будет равна:

Длина A = 58− 25 = 33

Решение программой

p = [i for i in range(44, 50)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(25, 59)] # задаем отрезок q
mx = 0
for a1 in range(1, 100): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 101): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if (((x in a) <= (x in p)) or (x in q)) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mx = max(len(a)-1,mx) # вычисляем максимальную длину отрезка
print(mx)

Ответ: 33