Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [27;68]$ и $Q = [38;71]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P) → (((x ∈ Q)∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ .

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬(x ∈ P)∨ (¬((x ∈ Q) ∧¬ (x ∈ A))∨ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P)∨ ¬(x ∈ Q )∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Инвертируем известную часть:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ принадлижит отрезку $P$ и отрезку $Q$ одновременно. На числовой прямой это отрезок $[38,68]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [38;68]$ , его длина $68 − 38 = 30$ .

Решение программой

p = [i for i in range(27, 69)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(38, 72)] # задаем отрезок q
mn = 10**10
for a1 in range(1, 100): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 101): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mn = min(len(a)-1,mn) # вычисляем минимальную длину отрезка
print(mn)

Ответ: 30