Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [19;56]$ и $Q = [32;84]$ . Укажите минимальную возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ P )

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q ))∨(x ∈ P)

(x ∈ A) ∨¬ (x ∈ Q)∨ (x ∈ P )

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q )∨(x ∈ P)

Инвертируем известную часть, чтобы определить иксы, при которых выражение будет ложно.

(x ∈ Q) ∧(x ∕∈ P )

То есть это такие иксы, которые одновременно приналежат отрезку $Q$ и не принадлежат отрезку $P$ , а именно: $x ∈ (56;84]$ . Тогда, чтобы выражение было истино при любых $x$ , необходимо отрезком $A$ «перекрыть» этот отрезок. Тогда $A = [56;84]$ , а его длина $84− 56 = 28$ .

Решение программой

p = [i/4 for i in range(19*4, 56*4+1)] # задаем отрезок p
q = [i/4 for i in range(32*4, 84*4+1)] # задаем отрезок q
mn = 10**10
for a1 in range(100): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 101): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i/4 for i in range(a1*4, a2*4)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if ((((x/4) not in a) and ((x/4) in q)) <= ((x/4) in p)) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mn = min(len(a)/4-1,mn)
print(mn)

Ответ: 28