Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №3

Просмотров 12 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;50]$ и $Q = [30; 65]$ .Отрезок $A$ таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной $x$ :

¬(x ∈ A ) → (((x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ A ))

Какова наименьшая возможная длина отрезка $A$ ?

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A ) ∨ (¬(x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) ∨ A )

¬(x ∈ A ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ A

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 50 − 30 = 20$ .

Решение программой

p = [i for i in range(10, 51)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(30, 66)] # задаем отрезок q
mn = 10**10
for a1 in range(1, 100): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 101): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x выражение ложно
            if ((x not in a) <= (((x in p) and (x in q)) <= (x in a))) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mn = min(len(a)-1,mn) # вычисляем минимальную длину отрезка
print(mn)

Ответ: 20