Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [33;65]$ и $Q = [45;83]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$(x ∈ P ) → (((x ∈ Q )∧(x ∕∈ A)) → (x ∕∈ P))$

тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наименьшую возможную целую длину промежутка А.

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию:

(x ∕∈ P )∨ (((x∈∕Q )∨ (x ∈ A))∨ (x ∕∈ P))

Уберем лишние скобки и одну скобку $(x ∕∈ P )$ :

(x ∕∈ P )∨(x ∕∈ Q)∨ (x ∈ A)

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

((x ∈ P )∧ (x ∈ Q))

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ принадлежит отрезку $Q$ и отрезку $P$ одновременно. Это выполняется при $x ∈ [45;65]$ Тогда, чтобы исходное выражение выполнялось, необходимо чтобы отрезок A «перекрывал» эту область. Поскольку в задании проясят найти минимальную длину отрезка A, то $A = [45;65]$ . Его длина равна $65 − 45 = 20$ .

Решение программой

p = [i for i in range(33, 66)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(45, 84)] # задаем отрезок q
mn = 10**10
for a1 in range(1, 100): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 101): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mn = min(len(a)-1,mn) # вычисляем минимальную длину отрезка
print(mn)

Ответ: 20