Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [23,47]$ , $Q = [13,108]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ Q ) → (¬(x ∈ P)∧ (x ∈ Q ) → (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∕∈ Q)∨ ((x ∈ P) ∨(x ∕∈ Q )∨ (x ∈ A))

(x ∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Дальше инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∕∈ P) ∧(x ∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ не принадлижит отрезку $P$ и принадлежит отрезку $Q$ . На числовой прямой это область $[13,23)∪ (47,108]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [13;108]$ .

Длина этого отрезка: $108 − 13 = 95$ . Это и будет ответом.

Решение программой

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]


def f(x, A):
    P = [23, 47]
    Q = [13, 108]
    return (inn(x, Q) <= (((not inn(x, P)) and inn(x, Q)) <= inn(x, A)))


borders = [0, 0]
minim = 10000000
k = 5
for a in range(0, 120 * k):
    for b in range(a, 120 * k):
        A = [a / k, b / k]
        good = True
        for x in range(0, 130 * k):
            if not f(x/k, A):
                good = False
                break
        if good:
            if A[1] - A[0] <= minim:
                minim = A[1] - A[0]
                borders = A.copy()
print(minim)
print(borders)

Программа вывела длину $95.0$ и границы отрезка $[13.0;108.0]$ , значит нам подходит отрезок $[13,108]$ .

Ответ: 95