Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [7;33]$ и $Q = [13;19]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

((x∈∕A ) → (x ∕∈ P))∨ (x ∈ Q)

была тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите количество возможных отрезков A, при этом левая граница которых не меньше 0, а правая не больше 33, и обе границы — целые числа.

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∈ Q)

Дальше инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∈ P) ∧(x ∕∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ принадлижит отрезку $P$ и не принадлежит отрезку $Q$ . На числовой прямой это область $[7,13)∪ (19,33]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [7;33]$ , а максимальный $A = [0;33]$ (учитывая условия). Заметим, что правую границу двигать нельзя, двигать можно только левую от 0 до 7, при этом граница – целое число. Тогда, всего существует $7− 0 +1 = 8$ отрезков $A$ подходящих под условие.

Решение программой

p = [i for i in range(7, 34)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(13, 20)] # задаем отрезок q
count = 0
for a1 in range(50): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 51): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if (((x not in a) <= (x not in p)) or (x in q)) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            if a[-1] <= 33:
                count += 1 # увеличиваем счётчик подходящих отрезков
print(count)

Ответ: 8