Задача к ЕГЭ по информатике на тему «отрезки» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;17]$ и $Q = [15; 25]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана и закону раскрытия импликации:

¬ (x ∈ P ) ∨ (¬((x ∈ Q ) ∧ ¬ (x ∈ A)) ∧ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A )

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ (x ∈ A )

Первая и вторая скобка будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 17 − 15 = 2$ .

Решение программой

p = [i for i in range(10, 18)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(15, 26)] # задаем отрезок q
mn = 10**10
for a1 in range(1, 50): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 51): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            mn = min(len(a)-1,mn) # вычисляем минимальную длину отрезка
print(mn)

Ответ: 2