Задача к ЕГЭ по информатике на тему «неравенства» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

((x− 10 < A) → (y+ 28 ≥ 4A ))∨(x + y ⁄= 17)

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых целых положительных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Решение аналитикой

Формула состоит из двух частей:

1. $(x− 10 < A) → (y+ 28 ≥ 4A )$

2. $x + y ⁄= 17$

Формула будет истинной, если хотя бы одна из частей истинна.

Первая часть является импликацией, которая истинна в следующих случаях:

— Если $x − 10 < A$ ложно, то есть $x ≥ A+ 10$ .

— Если $x − 10 < A$ истинно, то необходимо, чтобы $y + 28 ≥ 4A$ .

Таким образом, для первой части формулы можно записать два условия:

1. Если $x < A + 10$ , тогда должно выполняться условие $y+ 28 ≥ 4A$ .

2. Если $x ≥ A + 10$ , то первая часть всегда истинна.

Вторая часть формулы $x + y ⁄= 17$ будет ложной только в одном случае: когда $x + y = 17$ . Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы первое условие обеспечивало истинность в случае, когда $x + y = 17$ .

Рассмотрим случай, когда $x+ y = 17$ . Из этого уравнения можно выразить $y = 17− x$ . Теперь подставим это значение во вторую часть:

y+ 28 = (17− x) +28 = 45− x.

Таким образом, для первой части формулы при условии $x < A + 10$ :

45− x ≥ 4A

или

x ≤ 45 − 4A.

Теперь у нас есть два условия:

1. $x < A + 10$

2. $x ≤ 45− 4A$

Чтобы обе части были истинны одновременно, необходимо:

Решим это неравенство: Следовательно, наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, равно: Решение программой for A in range(100, 1, -1): p = True for x in range(1, 1000): for y in range(1, 1000): f = ((x - 10 < A) <= (y + 28 >= 4 * A)) or (x + y != 17) if f == False: p = False break if p == False: break if p == True: print(A) break Ответ: 7

Неравенства