Задача к ЕГЭ по информатике на тему «неравенства» №1

Просмотров 8 Комментарии 0

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

(x+ y ≤ 25)∨(y ≤ x+ 3)∨ (y ≥ A )

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых натуральных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Решение аналитически:

Первым шагом инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

25)\land (y > x+ 3) » class=»math-display» src=»/images/inform/reshen/reshen-3438-2.svg» width=»auto»>

Тепеь определим, для какого минимального $y$ это выражение будет давать истину. Так как значение $y$ связано со значением $x$ неравенством x+ 3 » class=»math» src=»/images/inform/reshen/reshen-3438-6.svg» width=»auto»>, то чтобы минимизировать $y$ , нужно минимизировать и $x$ .

Если мы зафиксируем какое-то значение $x$ , то для выбранного $x$ минимальное значение $y = x + 4$ (так как x+ 3 » class=»math» src=»/images/inform/reshen/reshen-3438-12.svg» width=»auto»>). Значит, 25 » class=»math» src=»/images/inform/reshen/reshen-3438-13.svg» width=»auto»>. Тогда минимальный подходящий $x = 11$ , а соответствующий ему минимальный $y = 15$ .

Значит, значение $y = 15$ это минимальные значение, которое будет давать ложь в исходном выражении. Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истинно, то должно выполняться неравенство $15 ≥ A$ . Отсюда наибольшее значение $A = 15$ .

Решение программой:

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if not(x + y <= 25 or y <= x + 3 or y >= a):
                return False
    return True

for a in range(100, 1, -1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 15