Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Множества» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Элементами множеств $P$ , $Q$ и $A$ являются натуральные неотрицательные числа, причём
$P = {2,4,6,8,10,12}$ и $Q = {3,6,9,12,15}$ . Известно, что выражение

------- ------- (x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧(x ∈ A )) → (x ∈ P ))

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменной $x$ ). Укажите наименьшее возможное значение суммы элементов множества $A$ .

Упростим выражение раскрыв импликацию и отрицание:

(x ∈ P ) → ((x ∕∈ Q )∨ (x ∈ A)∨ (x∈∕P ))

(x ∕∈ P )∨ (x ∕∈ Q) ∨(x ∈ A )∨ (x ∕∈ P)

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Сделаем отрицание известной части, чтобы определить, при каких $x$ исходное выражение ложно:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Это выражение истино (а исходное, соответственно, ложно) при $x$ , которые принадлежат и множеству $P$ и множеству $Q$ одновременно. Получаем что, при $x ∈ {6,12}$ исходное выражение ложно. Тогда, множество $A$ должно содержать как минимум эти $x$ . Так как в задании просят определить наименьшее возможное значение суммы элементов множества $A$ , то в этом множестве будут только эти два элемента: $A = {6,12}$ . Отсюда получаем ответ $6 + 12 = 18$ .

Ответ: 18