Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Множества» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Элементами множеств $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём
$P = {2,4,8,12,15}$ и $Q = {3,6,8,15}$ . Известно, что выражение

------- (x ∈ P ) → ((x ∈ Q)∨ (x ∈ A ))

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменной $x$ ). Укажите наименьшее возможное значение произведения элементов множества $A$ .

Упростим выражение раскрыв импликацию и отрицание:

(x ∈ P ) → ((x ∕∈ Q)∨ (x ∈ A ))

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Сделаем отрицание известной части, чтобы определить, при каких $x$ исходное выражение ложно:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Это выражение истино (а исходное, соответственно, ложно) при $x$ , которые принадлежат и множеству $P$ и множеству $Q$ одновременно. Получаем что, при $x ∈ {8,15}$ исходное выражение ложно. Тогда, множество $A$ должно содержать как минимум эти $x$ . Так как в задании просят определить наименьшее возможное значение суммы элементов множества $A$ , то в этом множестве будут только эти два элемента: $A = {8,15}$ . Отсюда получаем ответ $8 ∗15 = 120$ .

Ответ: 120