Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Множества» №3

Просмотров 4 Комментарии 0

Элементами множеств $A,P,Q$ являются натуральные числа, причём $P = {1,3,4,9,11,13,15,17,19,21}$ , $Q = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}$ . Известно, что выражение

((x ∈ P) → (x ∈ A )) ∨((x∈∕A ) → (x ∕∈ Q ))

истинно (т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ . Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве $A$ .

Первым шагом раскроем импликацию:

((x ∕∈ P)∨ (x ∈ A )) ∨((x ∈ A )∨(x ∕∈ Q))

Уберем повторяющуюся часть $(x ∈ A)$ , в итоге получаем выражение:

(x ∕∈ P)∨ (x ∈ A )∨(x ∕∈ Q)

Инвертируем известную часть:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Инвертированное выражение дает истину (а исходное, соответственно ложь), для тех $x$ , которые принадлежат одновременно и множеству $P$ , и множеству $Q$ . Такие $x = {3,9,15,21}$ . Тогда, множество $A$ должно содержать как минимум эти элементы, получаем что $A = {3,9,15,21}$ . Количество элементов в этом множестве – 4.

Ответ: 4