Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Множества» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Элементами множеств $A$ , $P$ , $Q$ являются натуральные числа, причем

$P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},Q = {3,6,9,12,15,21,24,27,30}$ .

Известно, что выражение

((x ∈ A) → (x ∈ P )) ∨(¬(x ∈ Q) → ¬(x ∈ A ))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$ . Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве $A$ .

Для краткости записи заменим: $a = (x ∈ A ),p = (x ∈ P ),q = (x ∈ Q)$ , тогда получается $- -- (a → p)∨ (q → a)$ . Упростим это выражение, раскрыв импликацию и уберем повторяющееся $a$ : $a∨ p∨ q$ .

Из этой формулы видно, что множество $A$ должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством $p ∨q$ . Тогда максимальное количество элементов множества $A$ будет, когда оно состоит из элементов множества $p$ и элементов множества $q$ .

Тогда искомое множество будет состоять из элементов ${2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,27,30}$ . Всего в нем 17 элементов.

Ответ: 17