Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Множества» №2

Просмотров 10 Комментарии 0

Элементами множеств $A$ , $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём $P = {1,2,3,4,5,6}$ и $Q = {3,5,15}$ . Известно, что выражение

(x ∕∈ A ) → (((x∈∕P )∧ (x ∈ Q))∨ (x ∕∈ Q ))

истинно (т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ . Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве $A$ .

Первым шагом раскроем импликацию:

(x ∈ A)∨ (((x ∕∈ P)∧ (x ∈ Q ))∨(x ∕∈ Q))

Раскроем правую часть по правилу ( $A ∧B )∨ C = (A ∨ C) ∧(B ∨ C)$

(x ∈ A)∨ (((x ∕∈ P)∨ (x ∕∈ Q ))∧((x ∈ Q )∨ (x ∕∈ Q)))

Упростим с помощью двух правил $A ∨ A-= 1$ и $A ∧ 1 = A$ :

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∕∈ Q)

Инвертируем известную часть:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Инвертированное выражение дает истину (а исходное, соответственно, ложь), для тех $x$ , которые принадлежат одновременно и множеству $P$ , и множеству $Q$ . Такие $x = {3,5}$ . Тогда, множество $A$ должно содержать как минимум эти элементы, получаем что $A = {3,5}$ . Количество элементов в этом множестве – 2.

Ответ: 2

Множества