Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Линейные программы и ветвление» №5

Просмотров 12 Комментарии 0

Из квадрата клетчатой бумаги размером $2n × 2n$ вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки из трех клеток.

В качестве ответа запишите 0.

База: для $n = 1$ , очевидно, что если квадрата 2×2 убрать одну клетку, получится уголочек из трех клеток.

Переход: возьмём, что квадрат $2k × 2k$ можно разрезать на уголки из трех клеток.

Докажем для $2k+1 × 2k+1$ : мы получим квадрат, который в четыре раза больше квадрата $2k × 2k$ , то есть состоит из 4 таких же квадратов.

Если из одного квадрата вырезать одну клетку, по предположению индукции, мы можем разбить его на уголки из 3 клеток. Теперь вырежем из центра квадрата уголок из трех клеток, не используя квадрат, из которого уже убрали клетку. Получается, мы убрали по одной клетке из каждого квадрата, по предположению индукции, мы можем разбить эти маленькие квадраты на уголки. И можно заметить, что мы, как и требуется по условию, убрали только одну одиночную клетку из большого квадрата. Клетки, которые мы убрали из трех квадратов образуют уголок из трех клеток, остальное разобьется по предположению.

Ответ: 0