Торт разрезали прямолинейными разрезами на несколько кусков. Оказалось, что одна сторона у ножа была грязная. Докажите, что всегда найдется хотя бы один чистый кусок.
В ответ запишите 0.
База: при одном разрезе очевидно, что одна часть будет чистая, другая грязная.
Переход: k разрезов оставляют чистый кусок. Докажем, что k+1 разрез тоже оставят чистый кусок.
На картинке черным нарисованы k распилов, синим отмечен чистый кусок, оставленный после k распилов. Красным нарисованы возможные положения k+1 распила: он может проходить через чистый кусок или не проходить. Если он не проходит через чистый кусок, то чистый кусок всё еще остается чистым. Если же проходит, то одна часть чистого куска всё еще останется чистой.