Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Линейные программы и ветвление» №3

Просмотров 12 Комментарии 0

Докажите, что при любом $n$ число $an$ делится на $b$ :

$an = 2n3 + 3n2 + 7n,$ $b = 6$ .

В качестве ответа запишите 0.

Проверим для $n = 1$ :

$a1 = 2+ 3+ 7 = 12$ , делится на 6.

Переход: допустим для $n = k$ , выполняется равенство:

$ak = 2k3 + 3k2 + 7k$

Тогда проверим для $n = k + 1$ :

$ak+1 = 2(k + 1)3 +3(k + 1)2 +7(k +1)$

Преобразуем:

$ak+1 = 2(k + 1)3 +3(k + 1)2 +7(k +1) =$

$= 2(k3 + 3k2 + 3k+ 1)+ 3(k2 + 2k+ 1)+ 7(k +1) =$

$= 2k3 + 6k2 + 6k+ 2 + 3k2 + 6k+ 3 +7k + 7 = (2k3 + 3k2 + 7k) +6k2 + 6k+ 6k+ 12 =$

$3 2 2 = (2k + 3k + 7k)+ 6(k + k+ 2)$

Поскольку $(2k3 + 3k2 + 7k)$ делится на 6 по предположению и у $6(k2 + k+ 2)$ есть множитель 6, то и сумма делится на 6.

Ответ: 0