Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Линейные программы и ветвление» №2

Просмотров 11 Комментарии 0

Докажите, что для всех натуральных n чисел верно равенство:

$m + (m + 1)+ (m + 2)+ ...+ (m + n) = (2m-+-n)(n-+-1) 2$

В качестве ответа напишите 0.

База: для $n = 1$ имеем, $(2m + 1)(1+ 1) m + (m + 1) =-------2------= 2m + 1$ .

Переход: предположим, что для $n = k$ выполняется

$(2m-+-k)(k-+1)- m + (m + 1)+ (m + 2)+ ...+ (m + k) = 2$

Проверим, что для $n = k+ 1$ тоже выполняется:

$(2m-+-k+-1)(k-+-2) m + (m + 1)+ (m + 2)+ ...+ (m + k) +(m + k + 1) = 2$ — надо доказать.

По предположению индукции, первые k слагаемых свернутся в сумму и выражение примет вид:

$(2m + k)(k+ 1) (2m +k )(k+ 1)+ (2m + 2k +2) -------2------+ (m + k+ 1) = -------------2--------------=$

$= 2mk-+-k2 +-4m-+-3k+-2-= (2mk-+-k)+-(4m-+-2)+-(k2 +-2k)= 2 2$

$k(2m + 1)+ 2(2m + 1)+ k(k +2) (k+ 2)(2m + 1)+ k(k + 2) = -----------------------------= -----------------------= 2 2$

$(k+-2)(2m-+-1-+-k) = 2$ — мы получили желаемое равенство.

Ответ: 0