Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Линейные программы и ветвление» №1

Просмотров 12 Комментарии 0

Докажите, что для всех натуральных n чисел верно равенство:

$2 2 13 + 23 + 33 + ...+n3 = n-(n+-1) 4$

В качестве ответа запишите 0.

База: для $n = 1$ имеем, $12 ∗(1 +1)2 13 = ----4------$ .

Переход: Допустим, что для n=k выполняется $3 3 3 3 k2(k + 1)2 1 + 2 + 3 + ...+ k = ---4-----$

Проверим утверждения для $n = k+ 1$ :

$(k+ 1)2(k + 2)2 13 + 23 + 33 + ...+(k + 1)3 =------------- 4$

По предположению про первые k слагаемых, сумма обретёт вид:

$2 2 2 2 k-(k+-1)- +(k + 1)3 = (k+-1)-(k-+-2)- 4 4$

Преобразуем:

$2 2 2 2 3 2 2 k-(k+-1)- +(k + 1)3 = k-(k+-1)-+-4(k-+-1)-= (k-+-1)-(k-+-4(k+-1)) 4 4 4$ =

= $(k + 1)2(k+ 2)2 -------------- 4$

Ответ: 0