Задача к ЕГЭ по информатике на тему «исполнитель «чертёжник»» №1

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (745, 391)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (476, 631)

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (792, 825)

КОНЕЦ

Укажите количество возможных значений числа $k > 1 » class=»math» width=»auto»>, для которого найдутся такие значения чисел <img decoding=$ , что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (25,46).

После выполнения команды вне цикла сместиться на (745, 391) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(792,825 )$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(1537, 1216)$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c + 476,d + 631)$ .

Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (25,46), имеем два уравнения: $k ⋅ (c + 476) + 1537 = 25$ и $k ⋅ (d + 631) + 1216 = 46$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c + 15) = − 1512$ и уравнения $k ⋅ (d − 9) = − 1170$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1 » class=»math» width=»auto»>. Следовательно, числа -1512 и -1170 должны быть кратны <img decoding=$ , разложим на множители наши числа, $3 3 − 1512 = − 2 ⋅ 3 ⋅ 7$ и $− 1170 = − 2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 13$ , общие множители здесь $2,32$ , поэтому подходящие $k$ можно получить как раз с помощью общих множителей. Нужные $k$ равны $2, 3,6 = 2 ⋅ 3,9 = 32,18 = 32 ⋅ 2$ , количество подходящих $k = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$ .

Ответ: 5